Dobrý deň.

1. cvičenie.
Chcú od nás, aby sme len zistili (nie dokázali), takže im stačí ako odpoveď áno/nie. Ak vám toto nejde úplne prirodzene, nemusíte to riešiť cez definície, ale dosaďte si pár po sebe idúcich čísel za n.

n=1 => 4/3
n=2 => 9/3
n=3 => 14/3
n=4 => 19/3

Z tohto je zrejmé, že diferencia je 5/3 a ide o aritmetickú postupnosť.

2. cvičenie
a2 = a1 + d = 6
a5 = a1 + 4d = 12
a7 = a1 + 6d = 16

3. cvičenie
Toto cvičenie je trochu zložitejšie oproti predchádzajúcim dvom a musíme vychádzať z definícií.

sn = n/2 (a1 + an)
1656 = n/2 (a1 + a1 + d(n-1))
1656 = n/2 (105 + 105 + 3(n-1))
1656 = n/2 (213 + 3n)
3312 = n(213 − 3n)

3n^2 − 213n + 3312 = 0

n1 = 48
n2 = 23

Z kvadratickej rovnice nám vyšli 2 výsledky, ale obidva nemôžu byť správne. Vylúčiť môžeme nesprávny na základe toho, že si pár tých súčtov rozpíšeme.

1 rad = 105
2 rady = 207
3 rady = 306
4 rady = 402
5 radov = 495
6 radov = 585

Mohol by som pokračovať ďalej, ale z tohto je evidentné, že tých radov v žiadnom prípade nemôže byť až 48. Správna odpoveď je preto 23.

4. cvičenie
Táto úloha má nekonečne mnoho riešení. Je len na Vás, aké si zvolíte. V oboch príkladoch som primárne zvolil také, aby vyšli celé čísla. Zadanie nám to však neprikazuje.

a1 + a4 + a6 = 71
a1 + a1 + 3d + a1 + 5d = 71
3a1 + 8d = 71

Ak chcem, aby členy boli celé čísla, potrebujem si tipnúť a1 tak, aby 71 - 3a1 bolo číslo deliteľné ôsmimi.
Skúsim a1 = 4 => 59 (nevychádza)
Skúsim a1 = 9 => 44 (nevychádza)
Skúsim a1 = 5 => 71 - 15 = 56 (vychádza) => d = 56/8 = 7

Výsledok: a1 = 5, a2 = 12, a3 = 19, a4 = 26, a5 = 33, a6 = 40

Vyskúšam, či platí rovnosť.
a1 + a4 + a6 = 71
5 + 25 + 40 = 71

Aj keby som dal, že d = 2 a a1 by tým pádom bolo 55/3, nevyšli by mi pekné čísla, ale stále by bol výsledok správny.
55/3 + 55/3 + 6 + 55/3 + 10 = 71




a5 - a2 - a3 = 2
a1 + 4d - (a1 + d) - (a1 + 2d) = 2
a1 + 4d - a1 - d - a1 - 2d = 2
-a1 + d = 2
a1 - d = -2

Takže a1 môže byť napríklad 3, d bude potom 5.

a1 = 3, a2 = 8, a3 = 13, a4 = 18, a5 = 23, a6 = 28

Skúška
a5 - a2 - a3 = 2
23 - 8 - 13 = 2

Správne riešenie by bolo aj napríklad, keby sme k nemu dostali cez a1 = 1, d = 3. Proste akákoľvek kombinácia, ktorá vyhovuje rovnosti a1 - d = -2.