Nájdite chybu v nasledujúcom „dôkaze“ matematickou indukciou.
V(n) : Ak v skupine n dievčat existuje aspoň jedno dievča s modrými očami, tak všetky dievčatá v skupine majú modré oči.
„Dôkaz.“ Pre n = 1 je zrejme výrok V(1) pravdivý.
Ukážeme, že ak je pravdivý výrok V(k) tak je pravdivý aj výrok V(k+1), pre ľubovoľne zvolené prirodzené číslo k.
Aby sme dokázali, že aj V(k+1) je pravdivý výrok, uvažujme o skupine k+1 dievčat D1, D2, ..., Dk, Dk+1 z ktorých aspoň jedno má modré oči, povedzme že je to dievča D1. Potom v skupine k dievčat
D1, D2, ..., Dk
dievča D1 má modré oči a podľa indukčného predpokladu všetkých k dievčat v tejto skupine má modré oči, čo symbolicky zapíšeme ako rovnosti
D1 = D2 = ... = Dk . (1)
Podobne nahliadneme, že v skupine k dievčat
D1, D2, ..., Dk-1, Dk+1
kde D1 má modré oči všetky dievčatá majú modré oči, čo môžeme opäť symbolicky zapísať ako rovnosti
D1 = D2 = ... = Dk-1 = Dk+1. (2)
Z rovností (1) a (2) máme, že
D1 = D2 = ... = Dk-1 = Dk = Dk+1
čo ale znamená, že všetkých k+1 dievčat má modré oči, teda je dokázaná platnosť tvrdenia V(k+1).
Are you looking for matematika tutoring? Find the right matematika tutor for online or in-person tutoring near you.
We access the information stored on your device for this website to function properly. This includes, for example, cookies or local browser cache. We use this to store the data necessary for the functioning of the website, data used for analytical purposes, or data stored by third parties.
If this information is essential for the operation of this website, we store it automatically. For everything else, we need your consent, which you can choose to give below. Your consent is valid for 12 months. Should you refuse, we will ask you for consent again in 6 months, but you are free to change your mind at any time. For more information, please see our GDPR and Terms of Use.